La ricerca dei punti omologhi

Cosa sono i punti omologhi

Nel processo fotogrammetrico, una volta individuati e filtrati i punti caratteristici (vedi articolo relativo) per ogni fotogramma, si procede con la ricerca dei punti omologhi.
Il problema della ricerca di questi punti prende il nome di Image Matching ed avviene mediante l’utilizzo di determinati algoritmi di calcolo.
L’individuazione di tali punti si basa sul confronto tra i punti caratteristici di tutte le immagini.
I punti caratteristici di ogni foto vengono confrontati con i punti caratteristici di tutte le altre immagini al fine di trovare una corrispondenza tra i punti.

Se in due o più immagini sono presenti dei punti che possiedono le stesse caratteristiche (features) allora, quei punti saranno i punti omologhi di un determinato punto di terra.

I punti omologhi rappresentano la proiezione su due o più fotogrammi di un punto situato a terra.
Sono dei punti presenti in due o più immagini con prospettive e angolazioni differenti che indicano un punto reale.
I raggi passanti per questi punti, sono definiti raggi omologhi. I raggi omologhi sono delle semirette passanti per:

• Il centro di presa della camera

• Il punto immagine (punto omologo)

I punti omologhi nella fotogrammetria

Nel processo fotogrammetrico, i punti omologhi consentono attraverso una serie di operazioni analitiche, di conoscere la posizione, la forma e la superficie di un determinato oggetto.
Nella fotogrammetria classica, le informazioni sull’oggetto si ottengono individuando, per un determinato numero di punti omologhi, l’intersezione dei loro raggi omologhi.
Oggi, queste informazioni vengono acquisite in modo analitico con la risoluzione di equazioni complesse dette equazioni di collinearità.
Tali equazioni descrivono la condizione di un generico raggio ottico che, al momento della presa, partendo da un punto P posto sul terreno e passando attraverso il centro dell’obiettivo O, genera il punto P’ sul fotogramma.

• r₁₁,r₁₂,r₁₃,r₃₁,r₃₂,r₃₃  sono gli elementi della matrice di rotazione che identifica le tre possibili rotazioni durante la fase di volo (rollio, beccheggio e imbardata nota anche come sbandamento o deriva);

• ξ’,η’ sono le coordinate del punto P’ sul sistema di riferimento del fotogramma;

• ξ₀,η₀ sono le coordinate del centro di presa sul sistema di riferimento del fotogramma;

• X_P, Y_P, Z_P  sono le coordinate del punto P’ sul sistema di riferimento del terreno;

• c è la distanza focale.

Le equazioni di collinearità esprimono l’allineamento tra il punto P’(ξ’,η’) presente sull’immagine (punto immagine), il punto P(X,Y,Z) del terreno e il centro di presa.

Nel momento della presa, ovvero nell’istante in cui viene scattata la foto, il centro di presa, il punto posto sul terreno ed il corrispondente punto sul fotogramma sono allineati lungo la stessa retta.

(X,Y,Z) è il sistema di riferimento terreno

(ξ’,η’,ζ’) è il sistema di riferimento del fotogramma

(ξ,η,ζ) è il sistema di riferimento della camera

(x,y,z) è il sistema di riferimento ausiliario

Nota la coppia di punti omologhi, mettendo a sistema le equazioni di collinearità di ciascun punto si possono ricavare le coordinate del punto oggetto posto sul terreno che ha generato i due punti omologhi corrispondenti sulle due immagini.  Per ogni coppia di punti omologhi, si avrà un sistema di 4 equazioni.

La risoluzione di tale sistema di equazioni non è immediata ma necessità della determinazione di alcune incognite che si ricavano dall’orientamento interno ed esterno dei fotogrammi che tratteremo nei prossimi articoli.

La ricerca dei punti omologhi nella fotogrammetria

Così come avviene per la ricerca dei punti caratteristici, la ricerca dei punti omologhi viene effettuata in modo automatizzato attraverso l’ausilio di software.

I più diffusi sono:

• SIFT (Scale Invariant Features Transform);

• SURF (Speeded Up Robust Features);

• ORB (Oriented fast and Rotated Brief).

Allo stato attuale dell’arte gli algoritmi che forniscono migliori risultati sono il SIFT e il SURF.

Di seguito viene riportato un breve diagramma di flusso nel quale vengono illustrati i passaggi principali di un generico algoritmo per la ricerca dei punti omologhi.

Numero minimo di punti omologhi in un modello fotogrammetrico

Non è possibile stabilire a priori un numero esatto di punti omologhi per la creazione di un corretto modello fotogrammetrico. Sicuramente, il numero dei punti omologhi trovati sarà inferiore rispetto al numero di punti caratteristici individuati nelle immagini. Non tutti i punti caratteristici delle singole immagini avranno il rispettivo omologo poiché non si troverà sempre una corrispondenza delle caratteristiche comuni.

La quantità dei punti omologhi è fortemente condizionata dall’oggetto o dalla superficie che si vuole rappresentare, dalla presenza di elementi di potenziale disturbo nelle immagini (vegetazione, nebbia, laghi, sabbia, ecc), dal numero di immagini acquisite e dalla loro qualità. Al fine di garantire una corretta rappresentazione del modello fotogrammetrico, oltre il numero di punti omologhi, è di grande importanza la loro distribuzione che deve risultare il più possibile omogenea.

Conclusioni

La ricerca dei punti omologhi è conseguenziale alla ricerca e alla selezione dei punti caratteristici ed  avviene con le stesse modalità ovvero attraverso  degli algoritmi di calcolo. Ne esistono diversi in letteratura anche se, allo stato attuale, i più affidabili risultano essere il SIFT e il SURF.

Una volta individuati e selezionati i punti omologhi, il processo fotogrammetrico prosegue con l’orientamento interno della fotocamera.

La fase successiva consiste nella calibrazione dei parametri della camera al fine di determinare la posizione del suo centro di presa rispetto al piano della lastra.

Il problema di orientamento interno sarà trattato nel nostro prossimo articolo.